Occasionally, in some difficult musical compositions, there are beautiful, but easy parts—parts so simple a beginner could play them. So it is with mathematics as well. There are some discoveries in advanced mathematics that do not depend on specialized knowledge, not even on algebra, geometry, or trigonometry. Instead, they may involve, at most, a little arithmetic, such as 'the sum of two odd numbers is even', and common sense. Each of the eight chapters in this book illustrates this phenomenon. Anyone can understand every step in the reasoning.
The thinking in each chapter uses at most only elementary arithmetic, and sometimes not even that. Thus all readers will have the chance to participate in a mathematical experience, to appreciate the beauty of mathematics, and to become familiar with its logical, yet intuitive, style of thinking.
Đôi khi, trong một số tác phẩm âm nhạc khó, có những phần đẹp nhưng dễ—những phần đơn giản đến mức một người mới bắt đầu cũng có thể chơi được. Toán học cũng vậy. Có một số khám phá trong toán học nâng cao không phụ thuộc vào kiến thức chuyên môn, thậm chí không cần đại số, hình học, hay lượng giác. Thay vào đó, chúng có thể bao gồm, nhiều nhất, một chút số học, chẳng hạn như 'tổng của hai số lẻ là số chẵn', và lẽ thường. Mỗi chương trong tám chương của cuốn sách này minh họa hiện tượng này. Bất kỳ ai cũng có thể hiểu mọi bước trong lập luận.
Tư duy trong mỗi chương sử dụng nhiều nhất chỉ là số học cơ bản, và đôi khi thậm chí không cần đến thế. Do đó, tất cả độc giả sẽ có cơ hội tham gia vào một trải nghiệm toán học, để trân trọng vẻ đẹp của toán học, và để làm quen với phong cách tư duy logic nhưng mang tính trực giác của nó.
One of my purposes in writing this book is to give readers who haven't had the opportunity to see and enjoy real mathematics the chance to appreciate the mathematical way of thinking. I want to reveal not only some of the fascinating discoveries, but, more importantly, the reasoning behind them.
In that respect, this book differs from most books on mathematics written for the general public. Some present the lives of colorful mathematicians. Others describe important applications of mathematics. Yet others go into mathematical procedures, but assume that the reader is adept in using algebra.
Một trong những mục đích của tôi khi viết cuốn sách này là mang đến cho những độc giả chưa có cơ hội được thấy và thưởng thức toán học thực sự cơ hội để trân trọng lối tư duy toán học. Tôi muốn hé lộ không chỉ một số khám phá hấp dẫn, mà quan trọng hơn, là lập luận đằng sau chúng.
Về mặt đó, cuốn sách này khác với hầu hết các cuốn sách về toán học viết cho công chúng. Một số trình bày cuộc đời của những nhà toán học đầy màu sắc. Một số khác mô tả các ứng dụng quan trọng của toán học. Một số khác nữa đi sâu vào quy trình toán học, nhưng giả định rằng người đọc thành thạo trong việc sử dụng đại số.
I hope this book will help bridge that notorious gap that separates the two cultures: the humanities and the sciences, or should I say the right brain (intuitive) and the left brain (analytical, numerical). As the chapters will illustrate, mathematics is not restricted to the analytical and numerical; intuition plays a significant role. The alleged gap can be narrowed or completely overcome by anyone, in part because each of us is far from using the full capacity of either side of the brain. To illustrate our human potential, I cite a structural engineer who is an artist, an electrical engineer who is an opera singer, an opera singer who published mathematical research, and a mathematician who publishes short stories.
Tôi hy vọng cuốn sách này sẽ giúp thu hẹp khoảng cách khét tiếng ngăn cách hai nền văn hóa: nhân văn và khoa học, hay nói cách khác là não phải (trực giác) và não trái (phân tích, liên quan đến số). Như các chương sẽ minh họa, toán học không giới hạn ở phân tích và số; trực giác đóng vai trò quan trọng. Khoảng cách được cho là có thể được thu hẹp hoặc hoàn toàn vượt qua bởi bất kỳ ai, một phần vì mỗi chúng ta còn xa mới sử dụng hết toàn bộ năng lực của mỗi bên não. Để minh họa tiềm năng con người, tôi trích dẫn một kỹ sư kết cấu là họa sĩ, một kỹ sư điện là ca sĩ opera, một ca sĩ opera đã công bố nghiên cứu toán học, và một nhà toán học xuất bản truyện ngắn.
Other scientists have written books to explain their fields to non-scientists, but have necessarily had to omit the mathematics, although it provides the foundation of their theories. The reader must remain a tantalized spectator rather than an involved participant, since the appropriate language for describing the details in much of science is mathematics, whether the subject is expanding universe, subatomic particles, or chromosomes. Though the broad outline of a scientific theory can be sketched intuitively, when a part of the physical universe is finally understood, its description often looks like a page in a mathematics text.
Các nhà khoa học khác đã viết sách để giải thích lĩnh vực của họ cho người không chuyên khoa học, nhưng nhất thiết phải bỏ qua phần toán học, mặc dù nó cung cấp nền tảng cho các lý thuyết của họ. Người đọc buộc phải là một khán giả bị kích thích tò mò thay vì một người tham gia trực tiếp, vì ngôn ngữ phù hợp để mô tả chi tiết trong phần lớn khoa học là toán học, dù chủ đề là vũ trụ giãn nở, hạt hạ nguyên tử, hay nhiễm sắc thể. Mặc dù phác thảo tổng quát của một lý thuyết khoa học có thể được phác họa một cách trực giác, khi một phần của vũ trụ vật lý cuối cùng được hiểu, mô tả của nó thường trông giống như một trang trong sách toán.
Still, the non-mathematical reader can go far in understanding mathematical reasoning. This book presents the details that illustrate the mathematical style of thinking, which involves sustained, step-by-step analysis, experiments, and insights. You will turn these pages much more slowly than when reading a novel or a newspaper. It may help to have a pencil and paper ready to check claims and carry out experiments.
Tuy nhiên, người đọc không chuyên toán có thể tiến xa trong việc hiểu lập luận toán học. Cuốn sách này trình bày các chi tiết minh họa phong cách tư duy toán học, bao gồm phân tích liên tục, từng bước một, thí nghiệm, và hiểu biết sâu sắc. Bạn sẽ lật các trang này chậm hơn nhiều so với khi đọc tiểu thuyết hay báo. Có thể hữu ích nếu chuẩn bị sẵn bút chì và giấy để kiểm tra các nhận định và thực hiện thí nghiệm.
As I wrote, I kept in mind two types of readers: those who enjoyed mathematics until they were turned off by an unpleasant episode, usually around fifth grade, and mathematics aficionados, who will find much that is new throughout the book.
This book also serves readers who simply want to sharpen their analytical skills. Many careers, such as law and medicine, require extended, precise analysis. Each chapter offers practice in following a sustained and closely argued line of thought. That mathematics can develop this skill is shown by these two testimonials:
Khi viết, tôi luôn nghĩ đến hai loại độc giả: những người từng thích toán cho đến khi bị mất hứng bởi một sự việc khó chịu, thường vào khoảng lớp năm, và những người đam mê toán học, những người sẽ tìm thấy nhiều điều mới mẻ xuyên suốt cuốn sách.
Cuốn sách này cũng phục vụ những độc giả đơn giản muốn mài giũa kỹ năng phân tích của họ. Nhiều nghề nghiệp, như luật và y khoa, đòi hỏi phân tích mở rộng, chính xác. Mỗi chương cung cấp bài thực hành theo dõi một mạch tư duy liên tục và lập luận chặt chẽ. Việc toán học có thể phát triển kỹ năng này được thể hiện qua hai lời chứng thực sau:
A physician wrote, 'The discipline of analytical thought processes [in mathematics] prepared me extremely well for medical school. In medicine one is faced with a problem which must be thoroughly analyzed before a solution can be found. The same process is true of doing mathematics.'
A lawyer made the same point, 'Although I had no background in law — not even one political science course — I did well at one of the best law schools. I attribute much of my success there to having learned, through the study of mathematics, and, in particular, theorems, how to analyze complicated principles. Lawyers who have studied mathematics can master the legal principles in a way that most others cannot.'
I hope you will share my delight in watching as simple, even naïve, questions lead to remarkable solutions and purely theoretical discoveries find unanticipated applications.
Một bác sĩ viết, 'Kỷ luật của quy trình tư duy phân tích [trong toán học] đã chuẩn bị cho tôi cực kỳ tốt cho trường y. Trong y khoa, người ta đối mặt với một vấn đề phải được phân tích kỹ lưỡng trước khi có thể tìm ra giải pháp. Quá trình tương tự cũng đúng với việc làm toán.'
Một luật sư cũng nêu quan điểm tương tự, 'Mặc dù tôi không có nền tảng về luật — thậm chí không một khóa khoa học chính trị nào — tôi đã học tốt tại một trong những trường luật tốt nhất. Tôi phần lớn nhờ vào thành công của mình ở đó do đã học, thông qua việc học toán, và đặc biệt là định lý, cách phân tích các nguyên tắc phức tạp. Những luật sư đã học toán có thể nắm vững các nguyên tắc pháp lý theo cách mà hầu hết người khác không thể.'
Tôi hy vọng bạn sẽ chia sẻ niềm vui thích của tôi khi theo dõi những câu hỏi đơn giản, thậm chí ngây thơ, dẫn đến các giải pháp đáng chú ý và những khám phá thuần lý thuyết tìm thấy các ứng dụng không lường trước.
QUESTIONS
Questions 27-34
Reading Passage 3 has seven sections, A–G. Which section contains the following information? Write the correct letter, A–G, in boxes 27–34 on your answer sheet. NB You may use any letter more than once.
Bài đọc 3 có bảy phần, A–G. Phần nào chứa thông tin sau? Viết chữ cái đúng, A–G, vào ô 27–34 trên phiếu trả lời. Lưu ý: Bạn có thể sử dụng bất kỳ chữ cái nào nhiều hơn một lần.
Questions 35-40
Complete the sentences below. Choose ONE WORD ONLY from the passage for each answer. Write your answers in boxes 35–40 on your answer sheet.
Hoàn thành các câu dưới đây. Chọn CHỈ MỘT TỪ từ bài đọc cho mỗi câu trả lời. Viết câu trả lời vào ô 35–40 trên phiếu trả lời.